欧几里得的第15篇攻略，也是第5-5篇攻略，主要介绍了常见的数学定理和证明方法，旨在帮助初学者掌握基础数学知识和解题思路。
1. 斐波那契数列
1.1 定义与性质
斐波那契数列是一个经典的数列，第一个元素为0，第二个元素为1，后续元素为前两项之和。具体地：
$$f_1=0, f_2=1$$
$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\ (n\geq 3)$$
斐波那契数列还有一些有趣的性质：
定理1： $$f_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi}$$
其中，$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$是两个根，满足$\varphi\psi=(-1)$。
定理2： $$f_n\approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$$
这个定理可以用数学归纳法证明。
1.2 例题
例1：求斐波那契数列第10项。
解：根据定义，我们有：
$$f_1=0, f_2=1$$
$$f_3=f_2+f_1=1+0=1$$
$$f_4=f_3+f_2=1+1=2$$
$$f_5=f_4+f_3=2+1=3$$
$$\cdots$$
依次计算，我们可以得到$f_{10}=55$。
2. 数学归纳法
2.1 基本思想
数学归纳法是一种证明数列或命题成立的重要方法。它的基本思想是：
（1）证明当$n=1$时命题成立；
（2）假设当$n=k\ (k\geq 1)$时命题成立；
（3）利用1）和2）的假设，证明当$n=k+1$时命题也成立。
2.2 例题
例2：证明对于任意正整数$n$，$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
证明：我们采用数学归纳法。
（1）当$n=1$时，左边为$1$，右边为$\frac{1\times 2}{2}$，显然成立。
（2）假设当$n=k\ (k\geq 1)$时命题成立，即$$1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$$
（3）证明当$n=k+1$时命题也成立，即$$1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
将1）中的等式两边都加上$k+1$，得到：
$$1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
这样就证明了原命题。
3. 抽屉原理
3.1 定义与性质
抽屉原理也称为鸽笼原理，它是一种非常常用的证明方法。它的基本思想是，如果有$n$只鸽子要放进$m$个鸽笼，且$n>m$，那么必定存在至少一个鸽笼里放有两只或者两只以上的鸽子。
3.2 例题
例3：证明当$n\geq 100$时，$n$个整数中至少存在两个数的差不超过$1$。
证明：我们将$[0,99]$划分为$100$个区间：$[0,1], [1,2], \cdots, [98, 99]$。对于任意一个整数$i\ (i=0,1,\cdots,n-1)$，它对应的区间为$[k, k+1]$，其中$k=i-100\lfloor \frac{i}{100} \rfloor$。因此，当$n>100$时，根据抽屉原理，我们至少要放入$101$只整数，才能保证两只整数在同一个区间内。这样，我们就可以找到两个数的差不超过$1$。
4. 总结归纳
本篇攻略主要介绍了斐波那契数列、数学归纳法和抽屉原理这三个重要的数学概念。斐波那契数列是一个经典的数列，通过数学归纳法，我们可以证明它的一些有趣的性质；数学归纳法是证明数列或命题成立的常见方法，而抽屉原理则是用来证明存在性命题的一种重要方法。这三个概念都非常重要，初学数学的同学们需要多多掌握。
