1. 二次函数的基本概念
1.1 二次函数的定义和图像
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中 $a,b,c$ 是常数，且 $a\neq 0$。二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向取决于系数 $a$ 的正负性。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。
下面我们以 $y=x^2$ 为例，演示如何在几何画板上绘制一个二次函数的图像：
打开几何画板，点击左上角的“新建”按钮创建一个新的绘图文件。
在页面上方的工具栏中选择“函数图像”工具。
在函数编辑区域输入函数 $y=x^2$。
点击“绘图”按钮，在页面上看到二次函数 $y=x^2$ 的图像。
1.2 二次函数的顶点
二次函数的图像的顶点是其对称轴的最高点或最低点，可以用求解函数的导数或完成平方与配方法得到。
以 $y=x^2+2x+1$ 为例，其标准形式为 $y=(x+1)^2$，即 $a=1,b=2,c=1$。可以通过完成平方操作或求导数找到函数的顶点：
完成平方操作得到：$y=(x+1)^2+0$。此时可看出顶点坐标为 $(-1,0)$。
求导数得到 $y'=2x+2$。令 $y'=0$，解得 $x=-1$。将 $x=-1$ 代入原函数得到 $y=0$，故顶点坐标为 $(-1,0)$。
2. 如何在几何画板上绘制二次函数
2.1 使用标准形式绘制二次函数
在几何画板中，可以使用标准形式 $y=a(x-h)^2+k$ 来绘制二次函数的图像，其中 $(h,k)$ 是顶点的坐标。
下面我们以 $y=-2(x-2)^2+4$ 为例，演示如何在几何画板上绘制一个二次函数的图像：
打开几何画板，点击左上角的“新建”按钮创建一个新的绘图文件。
在页面上方的工具栏中选择“函数图像”工具。
在函数编辑区域输入函数 $y=-2(x-2)^2+4$。
点击“绘图”按钮，在页面上看到二次函数 $y=-2(x-2)^2+4$ 的图像。
2.2 使用参数形式绘制二次函数
在几何画板中，还可以使用参数形式 $x=t$，$y=at^2+bt+c$ 来绘制二次函数的图像。
下面我们以 $y=-x^2$ 为例，演示如何在几何画板上绘制一个二次函数的图像：
打开几何画板，点击左上角的“新建”按钮创建一个新的绘图文件。
在页面上方的工具栏中选择“函数图像”工具。
在函数编辑区域输入函数 $x=t,y=-t^2$。
点击“绘图”按钮，在页面上看到二次函数 $y=-x^2$ 的图像。
3. 总结
本文介绍了二次函数的基本概念，包括定义和图像、顶点的求解方法等。我们还演示了在几何画板上如何使用标准形式和参数形式来绘制二次函数的图像。
掌握这些基本知识和技巧，可以让我们更好地理解二次函数的性质，并且在使用几何画板等绘图工具时更加得心应手。
