1. 简介
几何画板是一种基于迭代的图形构造工具，它可以用线段、圆弧等基本图形，通过迭代的方式构造出复杂的图形。这个工具有一个非常好的特点，就是可以将计算复杂度降低到O(1)。在这篇文章中，我们将介绍如何使用几何画板，通过非自由点的迭代实现构造根号n。
2. 构造思路
2.1 迭代构造基本思路
在几何画板中，我们可以通过迭代的方式来构造复杂的图形。具体来说，迭代构造的基本思路是：
1. 定义初始状态
2. 定义迭代规则
3. 执行多轮迭代，得到最终状态
在每一轮迭代中，我们使用上一轮的状态来计算当前状态。这种迭代的特点是每一次迭代都只需要执行一定的计算，所以计算复杂度是O(1)。
2.2 利用线段长度构造根号n
我们可以利用线段长度来构造根号n。具体来说，我们可以从1开始，反复地构造出长度为1的线段，并将这些线段按照比例组成一个长度为n的线段。例如，当n=5时，我们要构造的线段应该是5个长度为1的线段按照比例组成的。
接下来，我们可以考虑如何利用几何画板来实现这种构造。一种可行的做法是：
1. 将长度为1的线段（或其他基本图形）作为初始状态。
2. 定义迭代规则：
a）将线段旋转90度。
b）将线段向右平移一个单位长度。
c）将线段重复一次，得到两个长度为1的线段。
d）将线段按照比例组合，得到一个长度为n的线段。
3. 执行多轮迭代，得到最终状态，即长度为n的线段。
3. 实现思路
3.1 思路概述
在几何画板中，我们可以通过迭代的方式构造出根号n。具体的实现思路如下：
1. 将长度为1的线段作为初始状态，定义一个变量L表示线段的长度。
2. 定义迭代规则：
a）将线段旋转90度。
b）将线段向右平移一个单位长度。
c）将线段重复一次。
d）计算线段的长度L'=sqrt(L^2+1)。
3. 执行多轮迭代，得到最终状态，即长度为sqrt(n)的线段。
3.2 代码实现
代码实现如下：
```
def construct_sqrt_n(L, n):
# 定义初始状态
s = Segment(Point(0, 0), Point(L, 0))
# 定义迭代规则
for i in range(n):
# 将线段旋转90度
s.rotate(pi / 2)
# 将线段向右平移一个单位长度
s.translate(Vector(L, 0))
# 将线段重复一次
t = s.copy()
t.translate(Vector(L, 0))
# 计算线段的长度L'
L = sqrt(L ** 2 + 1)
# 将线段按照比例组合，得到长度为L'的线段
s = Segment(Point(0, 0), Point(L, 0))
s.rotate(-t.slope)
s.scale(L / t.length)
s.rotate(t.slope)
# 返回长度为sqrt(n)的线段
return s.scale(sqrt(n) / L)
```
4. 总结
利用几何画板和迭代的思想，可以实现高效的根号n的构造。在实现过程中，我们可以利用几何画板的优点，将计算复杂度降低到O(1)。同时，我们也需要考虑如何在迭代过程中，将基本图形相互组合，得到复杂的图形。这个过程对于我们理解迭代的本质和几何画板的优势都有一定的帮助。
总之，几何画板是一个非常有趣和有用的工具，它可以帮助我们更好地理解几何学和迭代思想。在实际应用中，我们也可以将几何画板和其他算法技术相结合，构造出更加高效和实用的算法。
