导函数的概念
导函数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点处的变化率。通过绘制导函数图像，我们可以直观地观察函数的变化趋势，进而求得函数的极值点。
几何画板的功能介绍
几何画板是一款功能强大的数学绘图软件，广泛应用于教育和科研领域。利用几何画板，我们可以方便地绘制函数及其导函数的图像，并通过图像分析求解函数的极值。
绘制函数图像
准备工作
在开始绘制导函数图像之前，我们需要先绘制原函数的图像。打开几何画板，输入原函数的表达式，并设置适当的坐标范围。
绘制步骤
1. 打开几何画板，选择“函数”工具。
2. 在输入框中输入原函数的表达式，例如 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)。
3. 设置坐标系的范围，以便更好地观察图像特征。
4. 点击“确定”，原函数的图像将显示在画板上。
绘制导函数图像
求导函数表达式
在绘制导函数图像之前，我们需要先求出原函数的导数表达式。对于 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，其导数为 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
绘制步骤
1. 重复绘制原函数图像的步骤，但这次输入导函数的表达式 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
2. 点击“确定”，导函数的图像将显示在画板上。
通过导函数图像求极值
极值的概念
极值点是函数的导数为零或不存在的点。在这些点处，函数可能达到局部最大值或最小值。
寻找极值点
1. 观察导函数图像，寻找导数为零的点，即导函数图像与横轴的交点。
2. 在这些交点处，原函数可能达到极值。使用几何画板的“点”工具，在导函数图像的交点处做标记。
3. 返回原函数的图像，在标记的点处观察原函数的值，即为极值。
验证极值点
1. 可以通过二阶导数或者利用导函数图像的变化趋势来验证极值点。
2. 若在极值点处，导函数图像由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则为极小值点。
实例分析
以 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 为例，其导数为 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。通过几何画板绘制导函数图像，可以找到导函数与横轴的交点，即 \( x = \pm1 \)。这些点处即为原函数的极值点。
在 \( x = -1 \) 处，导函数由负变正，因此 \( x = -1 \) 处为极小值点；在 \( x = 1 \) 处，导函数由正变负，因此 \( x = 1 \) 处为极大值点。
总结
通过几何画板绘制导函数图像，可以直观地观察函数的变化趋势，从而求得函数的极值点。这种方法简便易行，适用于各类函数的极值求解，为学习和研究提供了强有力的工具。
